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Publié : 23 mars 2009

La logique combinatoire (cours)

LES SYSTEMES LOGIQUES COMBINATOIRES

 

 1- Les signaux logiques

 

Dans un système logique, l’information traitée est de type binaire. Elle est représentée par des signaux électriques à 2 états. Ces signaux diffèrent suivant la logique employée.

 

 2- Logique à contact

 

• Etat technologique d’un contact électrique :
a= 0, le contact est au repos
a=1, le contact est au travail
• Variables d’entrée : ce sont tous des organes de commande (bouton poussoir, capteur, interrupteur, etc...) connus au départ et dont les changements d’états permettront d’obtenir le fonctionnement désiré.

• Variables de sortie : la logique de sortie caractérise le fonctionnement ou le non fonctionnement du récepteur à commander (lampe, moteur, etc...). Par convention elle prendra :
→ la valeur 0 si le récepteur est au repos.
→ la valeur 1 si le récepteur est au travail.


 3- La logique combinatoire


Les problèmes de logique combinatoire conduisent à l’établissement de pures combinaisons dans lesquelles la notion de temps n’intervient pas. Les états des variables d’entrée sont seuls à considérer.

Circuit combinatoire : exemple

 

 4- Equations logiques

 5- Propriétés des équations

Commutativité :
a + b = b + a
a . b = b . a
Associativité :
a + b . (c . d) = a + (b . c) . d
Distributivité de ./+ :
a . (b + c) = (a .b) + (a . c)
Distributivité de +/. :
a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
Simplification par absorption :
a + (a . b) = a
Simplification par développement :

 Applications :

 



 

 6- Théorème de De Morgan

 

• Le complément d’une somme est égal au produit des compléments de chaque facteur :

• Le complément d’un produit est égal à la somme des compléments de chaque facteur :

• Remarque : Si on complémente deux fois S, on retrouve S.

 

• Applications :

 

 7- Représentation des équations à partir du tableau de Karnaugh

Où : - a est la variable d’entrée (0 ou 1)
- Ø et Ø2 sont les états de la variable de sortie X (0 ou 1).
 • Simplification d’une équation à partir du tableau de Karnaugh (cf. annexe pour les différents exemples).

• Représentation des équations à partir du tableau de Karnaugh (cf. annexe pour les exemples).

• Exercices :
→ En sortie d’un système, on désire obtenir la majorité de 3 variables. Etablir la table de vérité de ce système et en extraire l’équation simplifiée.

→ On désire comparer 2 nombres de 2 bits chacun (ba et dc). Si le résultat de la comparaison est :
égalité ==> X = 1
ba < dc ==> Y = 1
ba > dc ==> Z = 1

Etablir les équations des sorties X, Y, Z en fonction des 4 variables d’entrée a, b, c, d.

 

 8- Les opérateurs logiques

Représentation symbolique et tables de vérité

Fonction Représentation Table de vérité
NON
ET    
OU    
NON-ET (NAND)    
NON-OU (NOR)    
OU EXCLUSIF    

Etablir ci-dessous les schémas logiques des deux solutions des exercices.

 

 ANNEXE (Simplifications)

Réunion de doublets :

 

 Réunion de quartets :

Réunion d’octets :

 ANNEXE (Représentation)

 

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